Pairwise Difference Representations of Moments: Gini and Generalized Lagrange Identities

We provide pairwise-difference (Gini-type) representations of higher-order central moments for both general random variables and empirical moments. Such representations do not require a measure of location. For third and fourth moments, this yields pairwise difference representations of skewness and kurtosis coefficients. We show that all central moments possess such representations, so no reference to the mean is needed for moments of any order. This is done by considering i.i.d. replications of the random variables considered, by observing that central moments can be interpreted as covariances between a random variable and powers of the same variable, and by giving recursions which link the pairwise-difference representation of any moment to lower order ones. Numerical summation identities are deduced. Through a similar approach, we give analogues of the Lagrange and Binet-Cauchy identities for general random variables, along with a simple derivation of the classic Cauchy-Schwarz inequality for covariances. Finally, an application to unbiased estimation of centered moments is discussed. Nous proposons des représentations par différences par paires (de type Gini) des moments centraux d’ordre supérieur, tant pour les variables aléatoires générales que pour les moments empiriques. Ces représentations ne nécessitent pas de mesure de localisation. Pour les moments d’ordre trois et quatre, cela donne lieu à des représentations par différences par paires des coefficients d’asymétrie et de kurtosis. Nous montrons que tous les moments centraux possèdent de telles représentations, de sorte qu’aucune référence à la moyenne n’est nécessaire pour les moments de n’importe quel ordre. Pour ce faire, nous considérons des réplications i.i.d. des variables aléatoires étudiées, nous observons que les moments centraux peuvent être interprétés comme des covariances entre une variable aléatoire et des puissances de cette même variable, et nous donnons des récursions qui relient la représentation par différences par paires de n’importe quel moment à celles d’ordre inférieur. Des identités de sommation numériques sont déduites. Grâce à une approche similaire, nous donnons des analogues des identités de Lagrange et de Binet-Cauchy pour des variables aléatoires générales, ainsi qu’une dérivation simple de l’inégalité classique de Cauchy-Schwarz pour les covariances. Enfin, une application à l’estimation non biaisée des moments centrés est abordée.