Die formalen Grundlagen der Mathematik

Zusammenfassung In diesem Kapitel werfen wir einen Blick auf die Geschichte der mathematischen Logik und führen dabei mehrere Begriffe ein, die für das Verständnis der Gödel’schen Arbeit unabdingbar sind. Unsere Reise beginnt in Abschnitt 2.1 mit einem Ausflug in das späte neunzehnte Jahrhundert. Dort lernen wir Gottlob Frege kennen, der für die Entwicklung der modernen Logik Maßgebliches geleistet hat und der gleichzeitig zu den tragischen Figuren der Wissenschaftsgeschichte gehört. In Abschnitt 2.2 beschäftigen wir uns mit den Arbeiten von Giuseppe Peano und besprechen die axiomatische Begründung der natürlichen Zahlen. Die Arbeiten von Frege und Peano spielen eine wesentliche Rolle in der Geschichte von Bertrand Russell, unserem nächsten Protagonisten. In Abschnitt 2.3 leiten wir zunächst die Russell’sche Antinomie her und klären anschließend, warum sie die Statik der Mathematik an einer tragenden Stelle beschädigte. Anschließend wenden wir uns jenem monumentalen Werk zu, das Gödel bereits im Titel seiner Arbeit erwähnt: der Principia Mathematica. Schließlich diskutieren wir in Abschnitt 2.4 die moderne Mengenlehre und verschaffen uns einen Überblick über die axiomatischen Systeme, die uns für die formale Verankerung der Mathematik gegenwärtig zur Verfügung stehen.