Konstruktive Differentialgeometrie besonderer Flächen und Kurven

Zusammenfassung Wenn sich eine Kurve k um eine feste Achse a dreht, so erzeugt sie eine Drehfläche Ф. Die Punkte von k beschreiben die Parallelkreise von Ф, deren Mitten auf a liegen und deren Ebenen zu a normal sind. Die Schnitte von Ф mit den Ebenen durch a sind die Meridiane von Ф. Da die Drehflächen in der Literatur der darstellenden Geometrie eingehend behandelt werden, beschränken wir uns hier auf einen Hinweis über die Konstruktion der Dupinschen Indikatrix. In Abb. 38 ist eine Drehfläche Ф durch die in der Zeichenebene liegende Meridiankurve (Halbmeridian) m und durch die Drehachse a gegeben. Zur Konstruktion der Indikatrix in einem Punkt P von m ermitteln wir zunächst die Hauptkrümmungsmitten K 1 K 2 von Ф in P. Da jede Meridianebene eine Symmetrieebene von Ф ist, ist die Meridiantangente t 1 in P eine Krümmungstangente in P; die andere ist daher die Parallelkreistangente. Auf einer Drehfläche sind daher die Meridiane und die Parallelkreise die Krümmungslinien. Die Kurvennormale n von m ist zugleich die Flächennormale in P. Da der Meridian m ein Hauptnormalschnitt ist, ist K 1 die Krümmungsmitte von m in P. Die zweite Hauptnormalschnittebene geht durch n und die Parallelkreistangente t 2 in P. Ist O der Mittelpunkt des Parallelkreises durch P, so ergibt sich die Hauptkrümmungsmitte K 2 nach dem Meusnierschen Satz in der Form § 83 Satz 1 als der Schnittpunkt von a mit n. Damit sind R 1 = P K 1 R 2 = P K 2 die Hauptkrümmungsradien.