Polynome, algebraische Gleichungen und rationale Funktionen

Zusammenfassung Wir haben uns mit dieser einfachsten Klasse von Funktionen schon des öfteren beschäftigt; sie spielen in der Analysis und besonders in den Anwendungen gerade wegen ihrer Einfachheit und wegen ihrer leicht zu übersehenden Eigenschaften eine große, fast überragende Rolle. Eine eigene, weit ausgebaute Disziplin der Mathematik, nämlich die Algebra, ist nichts anderes als eine Theorie der Polynome und der algebraischen Gleichungen, die durch Nullsetzen von Polynomen entstehen. Wir wollen uns im folgenden mit den wichtigsten Eigenschaften der Polynome in einer Veränderlichen befassen, die allgemein in der Gestalt (1) $$ f(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n} $$ oder abgekürzt $$ f(x) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}{x^{n - i}}} $$ geschrieben werden können. Dabei ist a 0 ≠ 0 angenommen; die nicht negative ganze Zahl n heißt der Grad des Polynoms. Über die Koeffizienten a i machen wir mit Ausnahme von a 0 ≠ 0 keine weiteren Voraussetzungen, sie können beliebige komplexe Zahlen sein. f(x) heißt reell, wenn alle a i reell sind. Die Bildkurve y = f(x) eines Polynoms mit reellen Koeffizienten heißt Parabel n-ter Ordnung. Unter einer algebraischen Gleichung versteht man stets eine Gleichung der Gestalt f(x) = 0, wo f(x) ein Polynom in x ist. Die Gleichung f(x) = 0 heißt reell, wenn alle $$ \frac{{{a_i}}} {{{a_o}}} $$ reell sind.