Ergänzungen aus der reellen Analysis

Zusammenfassung Man pflegt im Reellen von einem sehr allgemeinen Funktionsbegriff auszugehen und dann erst aus der Gesamtheit aller denkbaren Funktionen gewisse Klassen herauszugreifen, wobei jede Klasse durch eine bestimmte Eigenschaft definiert ist und somit aus allen Funktionen mit dieser Eigenschaft besteht. Nicht anders habe ich es in diesen Vorlesungen gemacht; ich erinnere in diesem Zusammenhang an die beschränkten Funktionen, an die stetigen, monotonen, integrierbaren (im Riemannschen Sinn) und differenzierbaren Funktionen, an die Funktionen, die durch konvergente Potenzreihen oder trigonometrische Reihen darstellbar sind, um nur die wichtigsten Funktionenklassen, die wir bisher betrachtet haben, zu erwähnen. Von ganz besonderer Bedeutung haben sich die durch konvergente Potenzreihen darstellbaren Funktionen erwiesen, die man auch als reguläre oder analytische Funktionen bezeichnet. Diese Funktionen lassen sich eindeutig ins Komplexe fortsetzen und stellen dort ebenfalls reguläre Funktionen dar. Dabei hat sich gezeigt, daß eine komplexe Funktion in einem Gebiet G regulär ist, wenn sie in G differenzierbar ist (III, § 22, 5 und § 25, 3), während im Reellen eine in einem Intervall differenzierbare Funktion keineswegs regulär sein muß. Die Forderung der Differenzierbarkeit ist also im Reellen ganz wesentlich schwächer als im Komplexen.