Sterbegeld

Zusammenfassung In den Kapiteln 18 und 19 haben wir Pensionssysteme betrachtet, bei denen Pensionsleistungen erst nach Ablauf einer Karenzzeit der Dauer l fällig werden. Stirbt der Versicherte während der Karenzzeit oder wird er in der Karenzzeit invalid, dann werden keine Hinterbliebenenpensionen bzw. Invaliditätspensionen fällig. In diesem Fall kann das System die Gewährung einer Abfindung vorsehen. Die Abfindung für den Versicherten selbst, der noch während der Karenzzeit invalid wird, soll bei Invalidisierung im vten Versicherungsjahr den Betrag α v erreichen. Die Wahrscheinlichkeit für die Invalidisierung im vten Versicherungsjahr ist v−1p x aa ix+v−1. Nehmen wir an, daß die Invalidisierungsfälle im Durchschnitt in der Mitte des Jahres eintreten, dann ist der Erwartungswert des Barwertes der auf den Versicherungsbeginn diskontierten Abfindung bei Invalidisierung im vten Versicherungsjahr gleich $${}_{v - 1}p_x^{aa}{i_{x + v - 1}}{\alpha _v}{\upsilon ^{v - {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}}} $$ . Der Erwartungswert $${}^i{B_{x,\left. {\overline {\,l \,}}\! \right| }} $$ des Barwertes aller Abfindungszahlungen, die bei Invalidisierung in der Karenzzeit, also in den ersten l Versicherungsjahren, fällig werden, kann demnach mit Hilfe von (18.1) und (18.3) in der Form 20.1 $$ {}^i{B_{x, \left. {\overline {\, i \,}}\! \right| }} = \frac{1}{{D_x^a}}\sum\limits_{v = 1}^l {D_{x + v - 1}^a{i_{x + v - 1}}{\alpha _v}{v^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}}}} $$ geschrieben werden. Führen wir die Kommutationszahlen 20.2 $$C_x^I = D_x^a{i_x}\upsilon $$ ein, dann folgt für den Erwartungswert des Barwertes der Abfindung: 20.3 $${}^i{B_{x,\left. {\overline {\, l \,}}\! \right| }} = \frac{1}{{D_x^a{\upsilon {{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}}}}}\sum\limits_{v = 1}^l {C_{x + v - 1}^I} \alpha {}_v $$