Sur un théorème général du calcul deś variations

Résumé Soit D un domaine de l’espace euclidien à n dimensions. Nous désignons par pq la distance des points p et q. Soit $$\begin{array}{*{20}{c}} {F(p,\vartheta ) = F({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}};x_{1}^{\prime }, \ldots ,x_{n}^{\prime }) = \frac{I}{k}F({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}};kx_{1}^{\prime }, \ldots ,kx_{n}^{\prime })}\\ {(pour k > o)}\\\end{array}$$ une fonction définie pour chaque point p = (x1, x2,…, xn) de D et pour chaque semi-rayon S = (x’1, x’2,…,x’n)issu de p. Nous appelons polygone une suite ordonnée finie de points. Un polygone est dit fermé, si son premier et son dernier point sont identiques. P = {p 1,p 2, · · ·,p k} étant un polygone donné, nous posons $$ \iota (P) = \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {PiPi + 1,} \lambda (P) = \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} F (pi,Spipi + 1, $$ Spp désignant le semi-rayon issu de p et passant par q. Soit C une courbe continue, ∝StSβ. L’image continue d’un intervalle fermé α L’image (par la même représentation) d’une suite finie S1 > S2