Untersuchungen über allgemeine Metrik. Vierte Untersuchung. Zur Metrik der Kurven

Zusammenfassung Bei einer der klassischen Definitionen der Bogenlänge geht man folgendermaßen vor: Man setzt, wenn ein Bogen B zwischen den Punkten a und c gegeben ist, auf B einen Richtungssinn fest, etwa von a nach c. Man ordnet sodann, wenn E eine endliche, etwa n Punkte enthaltende Teilmenge von B ist, die Punkte von E in jene Reihenfolge, in welcher sie bei der Durchlaufung von B in der festgesetzten Richtung angetroffen werden, und numeriert sie in dieser Reihenfolge mit b 1, b 2,…,b n. Man bildet hierauf, wenn b ib i+1 den Abstand der Punkte b i und b i+1 bezeichnet, die Zahl l(E, B) $$ = \,\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{b_i}} {b_{i + 1}}$$ und erklärt als Länge des Bogens B die Zahl o.S.l(E,B), d.h. die obere Schranke aller Zahlen l(E,B), wo $$E \subset |B$$ E alle endlichen Teilmengen von B durchläuft.