Grundzüge einer Theorie der Kurven

Zusammenfassung 1. Der Kurvenbegriff. Durch keine der älteren Kurvendefinitionen wurde das, was in der Anschauung für die Kurven charakteristisch ist, restlos erfasst Die Jordanschen „Kurven“ (die eindeutigen stetigen Bilder der Strecke) und die irreduziblen Kontinua können bekanntlich ganze Flächenstücke enthalten, — zu den einfachen Kurvenbögen (den topologischen Bildern der Strecke) gehört schon eine so einfache Kurve, wie die Kreislinie, nicht, — und die Cantorsche Definition der ebenen Kurven als nirgends dichte Kontinua ist auf andre Euklidsche Räume prinzipiell unübertragbar. Wir bezeichnen, gestützt auf eine allgemeine Dimensionstheorie 1), als Kurven die eindimensionalen Kontinua. Ein Kontinuum K, in dem (durch eine Metrik oder axiomatisch) Umgebungen definiert sind, heisst demgemäss Kurve, wenn zu jedem Punkt von K beliebig kleine Umgebungen mit diskontinuierlichen (d. h. keine Kontinua enthaltenden) Begrenzungen existieren. Die Dimensionstheorie lehrt, dass die Kurvennatur gegenüber topologischen Abbildungen invariant ist, — dass das Interval des R1 und mithin jeder einfache Kurvenbogen eine Kurve ist, — dass dagegen im Rn (n ≧ 2) die Kurven nirgends dicht sind und im Rn (n ≧ 3) ein zusammenhängendes Komplement besitzen. Im R2 sind die Kurven mit den nirgends dichten Kontinua (also mit den Kurven im Cantorschen Sinn) identisch.