Analytische Funktionen

Zusammenfassung Weierstraß’ Einführung der analytischen Funktionen als gewisse Mengen von Potenzreihen ist eine der bekanntesten Schöpfungen dieses kollossalen Mathematikers. Ein besonderer Aspekt seiner Definition aber ist vielleicht nicht genügend betont worden: daß sie nämlich viele Jahrzehnte hindurch die einzige rein mengentheoretische Definition von Funktionen war. Sie spielte diese Rolle, bis in den zwanziger und dreißiger Jahren dieses Jahrhunderts die Definition von Funktionen als gewisse Mengen von Zahlenpaaren in der Analysis aufkam; denn Dirichlet’s und verwandte ältere Definitionen können bei aller ihrer enormen Fruchtbarkeit nicht als rein mengentheoretisch bezeichnet werden. Inhaltlich sind Weierstraß’ Mengen von Potenzreihen einerseits viel spezieller als die modernen Funktionen, da er sich auf analytische Funktionen beschränkt, anderseits aber auch allgemeiner, da er z. B. die komplexe Quadratwurzel einschließt, die nicht unter die modernen Funktionen fällt, sondern eine mehrdeutige binäre Relation darstellt.