Der Gegenstand der Tensorrechnung

Zusammenfassung Wohl das wichtigste Anwendungsgebiet der Algebra und Analysis ist die Beschreibung der Zusammenhänge geometrischer und physikalischer Größen. Die einfachsten dieser Größen sind durch die Angabe ihrer Maßzahlen, d. h. durch ihre Verhältnisse zu festgewählten Einheiten vollständig beschrieben, und ihre Zusammenhänge lassen sich als funktionale Abhängigkeiten ihrer (variablen) Maßzahlen darstellen. Beispiele solcher Größen sind. Längen, Winkel, Massen, Zeit- oder Temperaturspannen. Aber es gibt noch andere Arten von Größen, die sich nicht in so einfacher Weise beschreiben lassen. So können z. B. zwei Kräfte ihren Beträgen nach sehr wohl übereinstimmen, aber trotzdem in ihren Wirkungen verschieden sein, weil sie verschiedene Richtungen aufweisen. Das gleiche gilt für sehr viele geometrische und physikalische Größen, wie z. B. Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung, elektrische und magnetische Feldstärke usw. In manchen Fällen reichen aber auch Maßzahl und Richtung für die Beschreibung nicht aus, wie z. B. bei der Deformation eines Körpers oder bei dem Strömungszustand einer Flüssigkeit. Beide fassen wir ebenfalls als physikalische Größen auf; um sie zu beschreiben, müssen wir aber eine noch größere Anzahl von Angaben zu Hilfe nehmen. Wir können z. B. im Fall der Deformation das. Parallelepiped betrachten, welches durch die Deformation aus einem bestimmten Würfel hervorgegangen ist oder in einem Strömungsfeld das Parallelepiped, in das sich ein würfelförmiges Flüssigkeitsteilchen in der Zeiteinheit verwandelt.