Die Integration der Feldgrößen. Kurvenintegrale

Zusammenfassung Die Ableitungen der Feldgrößen geben uns einen Einblick in die Struktur des Feldes im Kleinen. Die Frage nach der Gesamtwirkung des Feldes auf einen endlichen Bereich führt in entsprechender Weise stets auf Integrationsprobleme. Denken wir etwa an die Strömung einer Flüssigkeit durch einen endlichen Querschnitt. Hier wird die Frage nach dem gesamten Fluß durch diesen Querschnitt, also nach der Gesamtwirkung des Geschwindigkeitsfeldes auf den Querschnitt in vielen Fällen von erheblichem Interesse sein; auf die Verteilung der Geschwindigkeit über den Querschnitt kommt es dabei nicht an. Wir zerlegen den Querschnitt, also ein endliches, von einer geschlossenen, stückweise glatten, sich selbst nicht durchsetzenden Kurve berandetes Flächenstück, in so kleine Teilbereiche, daß wir die Geschwindigkeit in jedem solchen Teilbereich in erster Annäherung als konstant ansehen können. Dann ist der Fluß in jedem Teilbereich, also die in der Zeiteinheit durch den Teilbereich hindurchtretende Flüssigkeitsmenge, gleich dem Produkt aus der Projektion der Geschwindigkeit auf die Normale und dem Inhalt des Teilbereiches. Bilden wir die Summe der Flüsse durch alle Teilbereiche, so geht diese Summe jedenfalls, wenn die Zerlegung des Flächenstückes eine sogenannte ausgezeichnete Zerlegungsfolgel durchläuft und wenn gewisse Stetigkeitsbedingungen erfüllt sind, in ein über das Flächenstück erstrecktes Integral über.