Weiteres über die Krümmung der Fläche

Zusammenfassung Unsere bisherigen Überlegungen weisen eine starke Ähnlichkeit mit der Untersuchung der Tensoren zweiter Stufe in § 13 und § 14 auf. Der Unterschied besteht vor allem darin, daß hier an Stelle der drei unabhängigen Variablen X i die beiden Ableitungen u′, v′ treten, die aber auf der Fläche, d. h. in der Tangentenebene des betrachteten Punktes P nach (20 13) ebenfalls einen Vektor bestimmen. Es treten hier zwei quadratische Differentialformen auf, deren Koeffizienten E, F, G einerseits und L, M, N anderseits, wie wir später sehen werden, in einem anderen Sinn als bisher symmetrische Tensoren zweiter Stufe sind, die wir als Maßtensor und Haupttensor bezeichnen wollen. Die Aufgabe, die wir uns in § 14 stellen, einen symmetrischen Tensor A i; zweiter Stufe durch eine orthogonale Transformation auf die Normalform, d. h. die zugehörige quadratische Form A ij X i X j in eine Summe von Quadraten überzuführen, läßt sich auch anders formulieren: Es ist eine lineare Transformation zu finden, die A ij X i X in eine Summe von Quadraten überführt und gleichzeitig die positiv definite quadratische Form δ ij X i X j = X i X i unverändert läßt; die zweite Bedingung charakterisiert ja die orthogonalen Transformationen unter den linearen. Unserer in § 21 rein geometrisch geführten Untersuchung der Krümmungseigenschaften der Flächenkurven im Punkt P liegt aber, wie wir gleich sehen werden, eine ganz ähnliche Aufgabe zugrunde: