Der Riemannsche Krümmungstensor

Zusammenfassung Wir kehren nun nochmals zur Betrachtung der Parallelverschiebung (35, 03) bzw. (35, 16) zurück. Es seien P0 und P zwei beliebige Punkte des Riemannschen R n und in P0 sei ein Vektor A i gegeben. Wir verbinden Po und P durch eine Kurve mit der Parameterdarstellung x i (t) so daß dem Punkt P0 der Parameterwert t 0 dem Punkt P der Parameterwert t entspricht. Dann erhalten wir den Vektor A i in P der aus A i durch Parallel-verschiebung längs D entsteht, durch Integration der Differential- gleichung (35, 16) in der Form einer linearen Integralgleichung (36,01) A i = A 0 i − ∫ t 0 t { i k l } A k d x l d t d t ]] A i ¯ ]] A i ¯ = A i ]] ∂ ∂ x h ( { i k l } A k ) − ∂ ∂ x l ( { i k l } A k ) = 0 ]] ∂ ∂ x h ( { i k l } A k ) = A k ∂ ∂ x h ( { i k l } ) + { i k l } ∂ A k ∂ x h = = A k ∂ ∂ x h { i k l } − { i k l } { k h j } A j = = ( A k ∂ ∂ x h { i k l } − { i j l } { k h k } A j ) ]] R i . k h l = ∂ ∂ x h { i k l } − ∂ ∂ x l { i k h } − { i j l } { j k h } + { i j h } { j k l } ]] R i . k h l A k = 0 ]] R i . k h l = 0 ]]