Ergänzungen zur Differential- und Integralrechnung

Zusammenfassung Es sei y = f(x) definiert in einem offenen oder abgeschlossenen Intervall J. Existieren dann zwei Funktionen1 % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbWexLMBbXgBd9gzLbvyNv2CaeHbl7mZLdGeaGqiVu0Je9sqqr % pepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs % 0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-xfr-xb9adbaqaaeGaciGaai % aabeqaamaabaabauaakeaacaWG4bGaeyypa0JaamiEaiaacIcacaWG % 0bGaaiykaiaacYcacaWG5bGaeyypa0JaamyEaiaacIcacaWG0bGaai % ykaaaa!4A75! $$x = x(t),y = y(t)$$ mit einem gemeinsamen Definitionsbereich J 1, ist ferner der Wertevorrat von x(t) zumindest eine Teilmenge von J und besteht die Identität % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbWexLMBbXgBd9gzLbvyNv2CaeHbl7mZLdGeaGqiVu0Je9sqqr % pepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs % 0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-xfr-xb9adbaqaaeGaciGaai % aabeqaamaabaabauaakeaacaWGMbGaaiikaiaadIhacaGGOaGaamiD % aiaacMcacaGGPaGaeyypa0JaamyEaiaacIcacaWG0bGaaiykaaaa!4908! $$f(x(t)) = y(t)$$ für alle t aus J l, so heißen x(t) und y(t) eine Parameterdarstellung der Funktion y = f(x) oder der durch y = f(x) dargestellten Kurve. Die unabhängige Variable t wird dabei als Parameter bezeichnet. Derartige Parameterdarstellungen von Kreis und gleichseitiger Hyperbel sind uns bereits in § 23, 4 und § 24, 2 begegnet. Sie sind im allgemeinen besonders dann zweckmäßig, wenn es sich um vorwiegend geometrische Untersuchungen von Kurven handelt, da in der Parameterdarstellung im Gegensatz zur expliziten Darstellung die Koordinaten eines Kurvenpunktes gleichberechtigt und nicht eine vor der anderen ausgezeichnet erscheinen. Es ist ja in der Regel so, daß bei einer Gleichung der Form y =(x) die Funktion f(x) im Vordergrund des Interesses steht und daß man sich der geometrischen Deutung, also der Bildkurve y = f(x) nur zur Veranschaulichung gewisser Eigenschaften der Funktion bedient. Anders ist es, wenn man eine Kurve C als geometrisches Gebilde zu untersuchen hat; hier wird man aus naheliegenden Gründen eine bevorzugte Behandlung einer der Koordinaten vermeiden und — sofern man überhaupt analytische Geometrie treibt — entweder die implizite Darstellung F(x, y) = o oder eine Parameterdarstellung x = x(t), y = y(t) der Untersuchung zugrunde legen. Der Parameter t selbst hat dabei meist keine besondere Bedeutung, man kann durch t = t(τ) einen anderen Parameter r einführen, ohne daß die Kurve als solche irgendwie verändert wird, wenn nur die Funktion t(τ) gewisse Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaf ten hat und wenn ihr Wertevorrat sich mit dem ursprünglichen Definitionsbereich J 1 deckt. Man führt aber oft spezielle Parameter mit einer ganz bestimmten geometrischen oder physikalischen Bedeutung ein, z. B. die Bogenlänge der Kurve (§ 33) oder in der Kinematik die Zeit, wodurch die Kurve als Bahnkurve eines bewegten Punktes erscheint, denn die Koordinaten sind ja dann Funktionen der Zeit t. Wichtig ist die Feststellung, daß die Kurve C durch den Parameter in einem ganz bestimmten Sinne orientiert wird. Lassen wir nämlich t, von einem beliebigen Wert t 0 ausgehend, wachsen, so wird der Punkt P mit den Koordinaten x(t), y(t) vom Punkt P 0 mit den Koordinaten x 0 = x(t 0), y o = y(t 0) aus die Kurve C in einem ganz bestimmten Sinn durchlaufen und diesen Durchlaufungssinn, der wachsenden Parameterwerten entspricht, nehmen wir als positiv. Führen wir durch t = t(τ) einen anderen Parameter τ ein, so bleibt die Orientierung erhalten, wenn t(τ) monoton wachsend ist, und kehrt sich um, wenn t(τ) monoton abnimmt.