Das Integral und die Ableitung

Zusammenfassung Das Problem der Bestimmung der Flächeninhalte ebener Figuren ist mindestens ebenso alt wie die Geometrie als Wissenschaft überhaupt. Seine Lösung ist einfach bei Polygonen, also bei Figuren mit geradliniger Begrenzung. Solche Figuren lassen sich ja stets in Dreiecke zerlegen, und der Flächeninhalt eines Dreiecks ist ebenso wie der eines Rechtecks durch eine einfache Formel der Elementargeometrie gegeben. Es erscheint jedoch geradezu selbstverständlich, auch solchen ebenen Gebieten, die nicht oder nicht ausschließlich geradlinig begrenzt sind, einen Flächeninhalt zuzuschreiben. Aber seine Berechnung ist durchaus nicht einfach und führt stets auf Grenzprozesse, indem man die krummlinig begrenzte Fläche durch Polygone wachsender Seitenzahl approximiert und schließlich den Grenzübergang durchzuführen sucht. So geht man bei der Berechnung der Kreisfläche etwa von einem eingeschriebenen Quadrat aus, von diesem kommt man durch Halbierung der vier Kreisbogen zum regelmäßigen Achteck, von diesem wieder durch Halbierung der acht Kreisbogen zum Sechzehneck usf. Offenbar wird der Inhalt J n des regelmäßigen 2 n -Eckes, zu dem man nach n — 2 Schritten gekommen ist, mit wachsendem n den Kreisinhalt immer besser approximieren. Diese Flächeninhalte J n bilden eine monoton wachsende Folge, die sicher beschränkt ist, da alle J n kleiner sind als beispielsweise die Fläche des dem Kreis umschriebenen Quadrates. Die Folge { J n } ist daher konvergent und ihr Grenzwert wird als Flächeninhalt des Kreises bezeichnet.