Die Integration der Funktionen von mehreren Veränderlichen

Zusammenfassung Mit Integralen als Funktionen der Grenzen haben wir uns bereits in I, § 13 beschäftigt. Etwas ganz anderes liegt vor, wenn der Integrand neben der Integrationsveränderlichen noch von einer zweiten unabhängigen Veränderlichen abhängt, wenn es sich also um eine Funktion der Gestalt I % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4zaiaacI % cacaWG4bGaaiykaiabg2da9maapehabaGaamOzaiaacIcacaWG4bGa % aiilaiaadMhacaGGPaaaleaacaWGHbaabaGaamOyaaqdcqGHRiI8aO % GaamizaiaadMhaaaa!4552! $$g(x) = \int\limits_a^b {f(x,y)} dy$$ handelt. Hier ist y die Integrationsveränderliche und x eine zweite unabhängige Veränderliche oder ein Parameter. Die Grenzen a und b seien dabei zunächst konstant und die Funktion f (x, y) sei in dem abgeschlossenen Rechtecksbereich R % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqySdeMaey % izImQaamiEaiabgsMiJkabek7aIjaacYcacaaMe8UaaGjbVlaaysW7 % caaMe8UaaGjbVlaaysW7caaMe8UaamyyaiabgsMiJkaadMhacqGHKj % YOcaWGIbaaaa!4F5C! $$\alpha \leqslant x \leqslant \beta ,\;\;\;\;\;\;\;a \leqslant y \leqslant b$$ eindeutig und stetig. Geometrisch ist g(x) der Inhalt des über der Strecke % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa0aaaeaaca % WGbbGaamOqaaaaaaa!3792! $$\overline {AB} $$ (Abb. 84) von der Schnittkurve der Fläche z = f (x, y) mit der Ebene x = konst. bestimmten Normalbereiches. Man integriert also die Funktion f (x, y) längs der Strecke % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa0aaaeaaca % WGbbGaamOqaaaaaaa!3792! $$\overline {AB} $$ , wie man diesen Sachverhalt kurz ausdrückt.