Grundbegriffe. Differentiation der Funktionen von mehreren Veränderlichen

Zusammenfassung Was man unter einer ebenen Punktmenge versteht, habe ich schon in I, § 2, 2 kurz erwähnt1. Wesentlich ist dabei die Äquivalenz der Begriffe „Punkt P der Ebene“ und „geordnetes Zahlenpaar (x,y)“, wobei x die Abszisse und y die Ordinate von P in einem Cartesischen Koordinatensystem ist. Jede ebene Punktmenge ist daher im Sinne von I, § 2, i einer Menge geordneter Zahlenpaare äquivalent. Ich bemerke, daß die Definitionen und Sätze von I, § 2, i sich auf beliebige Mengen beziehen und daher insbesondere in gleicher Weise für lineare und ebene Punktmengen gelten. Von den Sätzen in I, § 2, 3 gelten einige nur für lineare Mengen, andere allgemeiner, was meist schon aus der Formulierung hervorgeht. Für ebene Mengen werden alle jene Begriffe und Sätze hinfällig, die irgendwie mit der natürlichen Ordnung der reellen Zahlen zusammenhängen, also vor allem die Begriffe größte und kleinste Zahl einer Menge, obere und untere Schranke oder Grenze, größter und kleinster Häufungswert. Eine wichtige Ergänzung zu I, § 2, 1 bilden die beiden folgenden Definitionen2: