Unendliche Reihen

Zusammenfassung Mit unendlichen Reihen haben wir uns im ersten Band schon einige Male beschäftigt. Zuerst gelegentlich unserer Untersuchungen über Zahlenfolgen in § 3 und 4, wo wir im Zusammenhang mit der Behandlung der geometrischen Reihe (§ 4,3) feststellen konnten, daß sich die Frage der Konvergenz einer unendlichen Reihe auf die Konvergenz von Zahlenfolgen in höchst einfacher Weise zurückführen läßt. Im Anschluß an die Entwicklung der Taylorschen Formel sind wir dann etwas weiter in die Theorie der Reihen eingedrungen; ich habe in § 28 des ersten Bandes gezeigt, daß sich eine beliebig oft differenzierbare Funktion einer Veränderlichen x durch eine unendliche Reihe darstellen läßt, wenn für den betrachteten Wert von x die Bedingung lim R n = o erfüllt ist, und habe dann in § 29 n→∞ die Reihenentwicklungen der elementaren Funktionen hergeleitet. Wir wollen uns im folgenden von einem allgemeineren Standpunkt aus mit den unendlichen Reihen befassen und ihre wichtigsten Eigenschaften kennenlernen. Ich möchte schon hier hervorheben, daß diese Untersuchungen nicht nur in theoretischer Hinsicht, sondern vor allem auch für das praktische Rechnen von der größten Bedeutung sind. Ich erinnere Sie daran, daß die Berechnung der transzendenten Zahlen π und e, die Berechnung der Logarithmentafeln und der Tabellen für die Winkelfunktionen im wesentlichen mit Hilfe von Reihenentwicklungen erfolgt; dasselbe gilt auch für die Tabellen anderer praktisch wichtiger Funktionen, die Sie später kennenlernen werden, wie die Zylinderfunktionen und Besselschen Funktionen. Eine sehr große Rolle spielen Reihenentwicklungen ferner auch bei der numerischen Berechnung mancher Integrale sowie bei der Lösung von Differentialgleichungen.