Fouriersche Reihen

Zusammenfassung Eine Funktion f(x) heiBt nach § 17, 2 periodisch mit der Periode 2 p > o oder kurz mit 2 p periodisch, wenn % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacI % cacaWG4bGaey4kaSIaaGOmaiaadchacaGGPaGaeyyyIORaamOzaiaa % cIcacaWG4bGaaiykaaaa!40D2! $$f(x + 2p) \equiv f(x)$$ ist. Es gilt dann auch % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacI % cacaWG4bGaey4kaSIaaGOmaiaadUgacaWGWbGaaiykaiabg2da9iaa % dAgacaGGOaGaamiEaiaacMcaaaa!40FF! $$f(x + 2kp) \equiv f(x)$$ für alle ganzen k. Mit Rücksicht auf die Kreisfunktionen werde ich im folgenden annehmen, daß die Periode 2 π ist. Man kann den allgemeinen Fall auf diesen zurückführen durch die Substitution % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiabg2 % da9maalaaabaGaamiCaaqaaiabec8aWbaacaWG5baaaa!3BB7! $$x = \frac{p}{\pi }y$$ ; denn ist f (x) mit 2 p periodisch, so ist φ(y) = f(p/π y) mit 2 π periodisch. Die einfachsten periodischen Funktionen sind die Kreisfunktionen sin x und cos x. Deuten wir x als Zeit, so stellen sie einen periodischen Vorgang, und zwar eine reine Sinusschwingung oder harmonische Schwingung dar. Die durch die beiden Funktionen dargestellten Schwingungen unterscheiden sich wegen cos x = sin(x + π/2) nur durch die Phase. Wir können eine reine Sinusschwingung mit beliebiger Amplitude und Phase auch in der Gestalt % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaiabg2 % da9iaadgeaciGGJbGaai4BaiaacohacaWG4bGaey4kaSIaamOqaiGa % cogacaGGVbGaai4CaiaadIhaaaa!4207! $$y = A\cos x + B\cos x$$ darstellen; setzen wir % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyqaiabg2 % da9iaadkhacaqGGaGaae4CaiaabMgacaqGUbGaaeiiaiabeA8aQjaa % cYcacaqGGaGaaeOqaiaab2dacaqGYbGaaeiiaiaabogacaqGVbGaae % 4CaiaabccacqaHgpGAaaa!482B! $$A = r{\text{ sin }}\varphi ,{\text{ B = r cos }}\varphi $$ , so wird % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaiabg2 % da9iaadkhacaqGGaGaae4CaiaabMgacaqGUbGaaeiiaiaabIcacaqG % 4bGaae4kaiabeA8aQjaabMcaaaa!41C5! $$y = r{\text{ sin (x + }}\varphi {\text{)}}$$ , also eine reine Sinusschwingung mit der Amplitude r, der Phasenkonstanten φ und der Kreisfrequenz I.