Numerische Integration

Zusammenfassung In § 13, 10 habe ich ein Verfahren angegeben, um das unbestimmte Integral einer Funktion näherungsweise auf graphischem Weg zu ermitteln. Im folgenden handelt es sich um numerische Methoden, die zur näherungsweisen Berechnung von bestimmten Integralen dienen. Man ist auf derartige Näherungsverfahren angewiesen, wenn entweder die Integration wegen der Kompliziertheit der Funktion nicht ausführbar ist oder wenn diese nur in einzelnen Punkten, etwa in Form einer Tabelle und nicht durch eine Formel gegeben ist. Die Definition des bestimmten Integrals % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOsaiabg2 % da9maapehabaGaamOzamaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaaWc % baGaamyyaaqaaiaadkgaa0Gaey4kIipakiaadsgacaWG4bGaeyypa0 % ZaaCbeaeaaciGGSbGaaiyAaiaac2gaaSqaaiaadYgacqGHsgIRcaaI % WaaabeaakmaaqahabaGaamOzamaabmaabaGaeqOVdG3aaSbaaSqaai % aadMgaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaaaleaacaWGPbGaeyypa0JaaGym % aaqaaiaad6gaa0GaeyyeIuoakiabfs5aejaadIhadaWgaaWcbaGaam % yAaaqabaaaaa!57D7! $$J = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = \mathop {\lim }\limits_{l \to 0} \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{\xi _i}} \right)} \Delta {x_i}$$ (l = Max {Δx i }) liefert sofort einen Anhaltspunkt für eine näherungsweise Berechnung, denn für genügend große Werte n stellt die Riemannsche Summe I % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabCaeaaca % WGMbWaaeWaaeaacqaH+oaEdaWgaaWcbaGaamyAaaqabaaakiaawIca % caGLPaaaaSqaaiaadMgacqGH9aqpcaaIXaaabaGaamOBaaqdcqGHri % s5aOGaeuiLdqKaamiEamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiabgIKi7kaa % dQeaaaa!4744! $$\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{\xi _i}} \right)} \Delta {x_i} \approx J $$ selbst schon einen mitunter durchaus brauchbaren Näherungsausdruck dar. Besonders mit Rücksicht auf tabellarische Darstellungen, denen ja in der Regel äquidistante Werte des Arguments zugrunde liegen, nehme ich an, daß das Intervall [a,b] in n gleiche Teilintervalle von der Länge % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuiLdqKaam % iEamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiabg2da9iaadIgacqGH9aqpdaWc % aaqaaiaadkgacqGHsislcaWGHbaabaGaamOBaaaacaGGSaGaaGPaVl % aadMgacqGH9aqpcaaIXaGaaiilaiaaykW7caaIYaGaaiilaiaaykW7 % caGGUaGaaiOlaiaac6cacaGGSaGaaGPaVlaad6gacaGGSaaaaa!5041! $$\Delta {x_i} = h = \frac{{b - a}}{n},\,i = 1,\,2,\,...,\,n, $$ geteilt sei. Läßt man nun ξ i entweder mit der linken Grenze x i −1 oder mit der rechten Grenze x i des Teilintervalls [x i −1, x i ] zusammenfallen, so erhält man die als Rechtecksformeln bekannten Näherungsausdrücke: 2 % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOsaiabgI % Ki7kaadkfadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccqGH9aqpdaaeWbqaaiaa % dAgadaqadaqaaiaadIhadaWgaaWcbaGaamyAaiabgkHiTiaaigdaae % qaaaGccaGLOaGaayzkaaaaleaacaWGPbGaeyypa0dabaGaamOBaaqd % cqGHris5aOGaamiAaiabg2da9maaqahabaGaamyEamaaBaaaleaaca % WGPbGaeyOeI0IaaGymaaqabaaabaGaamyAaiabg2da9iaaigdaaeaa % caWGUbaaniabggHiLdGccaWGObGaeyypa0JaamiAamaabmaabaGaam % yEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabgUcaRiaadMhadaWgaaWcbaGa % aGymaaqabaGccqGHRaWkcaaMc8UaaiOlaiaac6cacaGGUaGaaGPaVl % abgUcaRiaaykW7caWG5bWaaSbaaSqaaiaad6gacqGHsislcaaIXaaa % beaaaOGaayjkaiaawMcaaaaa!67BA! $$ J \approx {R_1} = \sum\limits_{i = }^n {f\left( {{x_{i - 1}}} \right)} h = \sum\limits_{i = 1}^n {{y_{i - 1}}} h = h\left( {{y_0} + {y_1} + \,...\, + \,{y_{n - 1}}} \right)$$ bzw.