Weitere Anwendungen des Integralbegriffes in Geometrie und Mechanik

Zusammenfassung Es sei y =f (x) > 0 in [a, b] stetig. Der Normalbereich über [a, b] rotiere um die x-Achse; zu berechnen sei das Volumen des so entstehenden Dreh- oder Rotationskörpers. Das Intervall [a, b] werde durch die Punkte x 0 =a, x 1, x 2, ..., x n =b in n Teilintervalle von den Längen Δx i = x i — x i −1 zerlegt und in jedem Teilintervall der Drehkörper durch eine zylindrische Scheibe vom Radius f(ξ i ) und der Höhe Δ x i approximiert, wobei x i −1 ≦ ξ i ≦ x i ist (Abb. 120). Durchlaufen die Teilungspunkte eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von [a, b], so wird das gesuchte Volumen gleich dem Grenzwert der Summe der Zylindervolumina1 % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOvaiabg2 % da9iaadAfadaqadaqaaiaadggacaGGSaGaamOyaaGaayjkaiaawMca % aiabg2da9maaxababaGaciiBaiaacMgacaGGTbaaleaacaWGSbGaey % OKH4QaaGimaaqabaGccaaMc8+aaabCaeaadaWadaqaaiaadAgadaqa % daqaaiabe67a4naaBaaaleaacaWGPbaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaa % Gaay5waiaaw2faaaWcbaGaamiBaiabgkziUkaaicdaaeaacaWGUbaa % niabggHiLdGcdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqaHapaCcqqHuoarca % WG4bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaeyypa0JaeqiWda3aa8qCaeaa % daWadaqaaiaadAgadaqadaqaaiaadIhaaiaawIcacaGLPaaaaiaawU % facaGLDbaaaSqaaiaadggaaeaacaWGIbaaniabgUIiYdGcdaahaaWc % beqaaiaaikdaaaGccaWGKbGaamiEaaaa!698C! $$V = V\left( {a,b} \right) = \mathop {\lim }\limits_{l \to 0} \,{\sum\limits_{l \to 0}^n {\left[ {f\left( {{\xi _i}} \right)} \right]} ^2}\pi \Delta {x_i} = \pi {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right)} \right]} ^2}dx$$ oder kurz 1 % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOvaiabg2 % da9iabec8aWnaapehabaGaamyEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeaa % caWGHbaabaGaamOyaaqdcqGHRiI8aOGaamizaiaadIhacaGGUaaaaa!4246! $$V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}} dx.$$