Das unbestimmte Integral

Zusammenfassung Die Funktion f(x) sei stetig in einem Intervall J; sind a und b > a zwei Werte aus J, so existiert das bestimmte Integral % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOsamaabm % aabaGaamyyaiaacYcacaWGIbaacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0Zaa8qC % aeaacaWGMbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaamizaiaadI % haaSqaaiaadggaaeaacaWGIbaaniabgUIiYdaaaa!455C! $$J\left( {a,b} \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $$ , dessen Wert von den Integrationsgrenzen a und b und vom Verlauf der Funktion f(x) abhängt und gleich dem Flächeninhalt des durch die Funktion f(x) über [a, b] gegebenen Normalbereiches ist. Wir denken uns nun a festgehalten, b aber als Variable, und schreiben, um diesen Umstand besser hervorzuheben, x an Stelle von b und u an Stelle der ursprünglichen Integrationsveränderlichen x. Das Integral % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOsamaabm % aabaGaamyyaiaacYcacaWGIbaacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaamOr % amaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maapehabaGaam % OzamaabmaabaGaamyDaaGaayjkaiaawMcaaiaadsgacaWG1baaleaa % caWGHbaabaGaamiEaaqdcqGHRiI8aaaa!49C3! $$J\left( {a,b} \right) = F\left( x \right) = \int\limits_a^x {f\left( u \right)du} $$ ist dann eine für alle Werte x ∈ J definierte Funktion F(x) der oberen Grenze x und bedeutet geometrisch den mit x veränderlichen Flächeninhalt des durch f(x) über [a, x] bestimmten Normalbereiches bei festgehaltener unterer Grenze a. Die Integrationsveränderliche wurde mit u bezeichnet, um sie von der oberen Grenze x zu unterscheiden. Es wird aber auch die Schreibweise % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOramaabm % aabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maapehabaGaamOzamaa % bmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiaadsgacaWG4baaleaacaWGHb % aabaGaamiEaaqdcqGHRiI8aaaa!43EE! $$F\left( x \right) = \int\limits_a^x {f\left( x \right)dx} $$ sehr oft verwendet, obwohl sie eigentlich unzulässig ist, da hier derselbe Buchstabe für zwei verschiedene Variable gebraucht wird.