Die Gödelschen Theoreme

Zusammenfassung Um die beiden Theoreme von Gödel exakt beweisen zu können, muß zuvor das formale System, auf welches sich diese Theoreme beziehen, genau beschrieben werden. Dieses formale System bildet im Rahmen metamathematischer Untersuchungen den Gegenstand der Betrachtung und wird daher auch Objektsprache genannt. Die Sprache, in welcher über die Objektsprache gesprochen wird, heißt Metasprache. In der Metasprache werden die Regeln angegeben, durch welche die Objektsprache überhaupt erst ins Leben gerufen wird; ferner werden darin die auf die Objektsprache bezogenen Untersuchungsergebnisse formuliert. Diese Ergebnisse machen in ihrer Gesamtheit die Metatheorie aus. Als Metasprache dient uns die Umgangssprache, die aber durch einige noch anzuführende Symbole erweitert werden soll. Der Unterschied zwischen Objekt- und Metasprache muß stets genau beachtet werden, wenn man keine Verwirrung stiften will. Es könnte leicht gezeigt werden, daß in den intuitiven Betrachtungen des vorigen Abschnittes diese Unterscheidung nicht klar vollzogen wurde. Wir wollen jedoch nicht darangehen, die dortigen Mängel auszubessern, da das Unentscheidbarkeitstheorem von Gödel im folgenden in bezug auf ein nach präzisen Regeln aufgebautes System bewiesen werden soll.