Die Dimensionsverhältnisse in Cartesischen Räumen

Zusammenfassung Wir wenden uns nun der Untersuchung der Dimensionsverhältnisse in Cartesischen Räumen zu. Der R n und die Intervalle des R n sind jene Gebilde, für welche die Bezeichnung n-dimensional im allgemeinen Sprachgebrauch festgelegt ist. Daß die Strecke eindimensional, die Quadratfläche zweidimensional, der Würfelkörper dreidimensional, das Intervall des R n n-dimensional ist, das sind in der gesamten Geometrie und darüber hinaus unerschütterlich festgelegte Ausdrucksweisen. Während die Aufstellung des allgemeinen Dimensionsbegriffes in der umfangreichen Theorie, welche in den vorangehenden Kapiteln entwickelt wurde, ihre volle Rechtfertigung findet, so ist die Benennung des Begriffes mit dem Worte „Dimension“ noch zu begründen durch den Nachweis, daß sie mit dem allgemeinen Gebrauch des Wortes Dimension nicht im Widerspruch steht (vgl. S. 76f.). Und da ein allgemeiner und übereinstimmender Gebrauch des Wortes „Dimension“ vor der Entwicklung der allgemeinen Dimensionstheorie bloß hinsichtlich des R n und seiner Intervalle vorlag, so ist also nachzuweisen, daß der R n und das Intervall des R n im Sinne der allgemeinen Definition n-dimensional ist. Die Dimensionstheorie selbst ist, wie betont werden muß, von diesem Satz völlig unabhängig. Alle Theoreme der vorangehenden Kapitel gelten ohne Rücksicht auf die Dimensionsverhältnisse irgendwelcher spezieller Räume. Für die allgemeine Dimensionstheorie spielt der Satz nur insofern eine wichtige formale Rolle, als er durch Angabe eines Beispiels, nämlich des R n , die Existenz n-dimensionaler Räume für jedes natürliche n nachweist, eine Tatsache, die jedoch in der eigentlichen Dimensionstheorie nirgends vorausgesetzt wird.