Interpolation

Zusammenfassung Verschiedene Arten derselben. Ist von einer Funktion (die an der in Betracht kommenden Stelle als stetig vorausgesetzt wird) der analytische Ausdruck entweder unbekannt oder wird er als zu kompliziert für unbekannt angenommen, so ist es gleichwohl möglich, Näherungswerte derselben für beliebige Werte des Argumentes innerhalb gewisser Grenzen anzugeben, wenn für bestimmte Werte des Argumentes, sei es durch Beobachtung oder durch direkte Benutzung des analytischen Ausdruckes die numerischen Beträge der Funktion vorliegen. Das hierzu ausgebildete Verfahren, vorhandene Zahlenreihen durch Einschalten neuer Werte mittelst eines raschen Prozesses zu ergänzen, heisst Interpolieren 1); dasselbe besteht in der Regel in der Ersetzung der ursprünglichen Funktion durch eine bequemer zu berechnende neue Funktion, welche aus den bekannten numerischen Werten gebildet wird und welche sich diesen möglichst enge anschmiegt; diese Funktion heisst Interpolationsformel. Es hängt von der Natur der ursprünglichen Funktion beziehungsweise von dem Verlauf der vorliegenden Zahlenreihe ab, welche Form man der Interpolationsformel zu geben hat; man kann eine ganze rationale Funktion nehmen (parabolische Interpolation [Nr. 3]) oder eine gebrochene rationale Funktion (nach A. Cauchy [Nr. 3]) oder eine Exponentialfunktion (nach R. Prony [Nr. 12]) oder eine periodische nach den sin und cos der Vielfachen des Argumentes fortschreitende Funktion (nach Lagrange, Gauss, U. J. Leverrier [Nr. 10]) oder eine nach Kugelfunktionen fortschreitende Reihe (nach A. M. Legendre, F. Neumann [Nr. 13]) oder endlich man kann einen völlig allgemeinen Ansatz machen in Gestalt einer beliebig weit fortzusetzenden und beliebig zusammengesetzten Reihe (nach Cauchy [Nr. 11] und P. Tschebyscheff [Nr. 14]).