Irrationalzahlen und Konvergenz Unendlicher Prozesse

Zusammenfassung Die Irrationalzahlen, deren principielle Einführung eine der wesentlichsten Grundlagen der allgemeinen Arithmetik bildet, sind nichtsdestoweniger zunächst aus geometrischen Bedürfnissen erwachsen: sie erscheinen ursprünglich als Ausdruck für das Verhältnis incommensurabler (d. h. durch kein gemeinschaftliches Mass messbarer) Streckenpaare (z. B. der Diagonale und Seite eines Quadrats2). In diesem Sinne kann das 5. Buch des Euklid, welches die allgemeine Theorie der „Verhältnisse“ entwickelt, sowie das von den incommensurablen Grössen handelnde 10. Buch als litterarischer Ausgangspunkt für die Lehre von den Irrationalzahlen angesehen werden. Immerhin behandelt Euklid naturgemäss nur ganz bestimmte mit Zirkel und Lineal konstruierbare (also, arithmetisch gesprochen, durch Quadratwurzeln darstellbare) Irrationalitäten in ihrer Eigenschaft als incommensurable Strecken 3); die Anschauung, dass das Verhältnis zweier solcher specieller oder gar zweier ganz beliebig zu denkender incommensurabler Strecken eine bestimmte (irrationale) Zahl definiere, ist ihm, wie überhaupt den Mathematikern des Alterthums, fremd geblieben4).