Separation und Approximation der Wurzeln

Zusammenfassung In vielen praktischen Fällen, wo die Werte einer Veränderlichen gesucht werden, die einer gegebenen transcendenten oder algebraischen Gleichung genügen oder die Werte mehrerer Veränderlichen, die mehreren solchen Gleichungen genügen, sind uns durch die Natur der Sache Näherungswerte der gesuchten Grössen schon bekannt, und es handelt sich nur darum, genauere Annäherungen zu finden. Newton hat dafür eine Methode angegeben1), die ursprünglich für den Fall einer Veränderlichen erfunden, sich auch auf den Fall beliebig vieler Veränderlichen übertragen lässt. Der Gedanke besteht darin, dass, wenn a der erste Näherungswert einer Wurzel der Gleichung f(x) = 0 ist und p die Verbesserung bedeutet, die Funktion f(a + p) nach Potenzen von p entwickelt wird. Vernachlässigt man dann die Glieder zweiter Ordnung, so ergiebt sich für p die Gleichung ersten Grades: f(a) + f′(a)p = 0, aus der p gefunden wird. Mit der auf diese Weise ermittelten zweiten Annäherung wiederholt man dieselbe Rechnung u. s. w. Dasselbe Verfahren lässt sich auf zwei oder mehr Veränderliche übertragen, die zwei oder mehr Gleichungen genügen sollen. Sind z. B. die beiden Gleichungen f(xy) = 0 und g(xy) = 0 zu erfüllen und ist x = a, y = b ein Wertsystem, das den Gleichungen angenähert genügt, so setze man x = a + h, y = b + k und entwickle die beiden Funktionen f(xy) und g(xy) nach Potenzen von h und k. Mit Vernachlässigung der Glieder zweiter Ordnung erhält man so zwei Gleichungen ersten Grades für h und k, die nach h und k aufgelöst ein verbessertes Wertsystem liefern, mit dem man dieselbe Rechnung wiederholen kann u. s. w.