Reduzible Abelsche Integrale

Zusammenfassung 106. Reduzible Integrale. Vollständige lineare Systeme derartiger Integrale. Ein Integral erster Gattung wird reduzibel genannt, wenn seine zyklischen Perioden einer oder mehreren linearen homogenen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten genügen (es wäre besser, wenn man es ein Integral mit reduziblen Perioden nennen würde). Es ist einleuchtend, daß für ein Integral erster Gattung die Reduzibilität eine spezielle Eigenschaft bedeutet; denn die Perioden eines allgemeinen Integrals erster Gattung können keiner Beziehung von der genannten Form genügen, weil ihre reellen Teile willkürlich wählbar sind (Nr. 96, S. 254). Mittels der linearen Gleichungen, die die Perioden eines reduziblen Integrals miteinander verbinden, können seine 2p Perioden dargestellt werden als lineare Kombinationen mit rationalen Koeffizienten zwischen einer gewissen Anzahl r von ihnen, die nicht weiter reduzierbar sind (reduzierte Perioden). Mit Hilfe eines von Weierstrass angegebenen arithmetischen Verfahrens,1) bei dessen Entwicklung wir uns jedoch nicht aufhalten wollen, kann man beweisen, daß die 2p Perioden eines reduziblen Integrals ausgedrückt werden können als lineare Kombinationen mit ganzzahligen Koeffizienten zwischen einer gewissen Anzahl r von Größen.