Die Grundbegriffe der projectivischen und metrischen Geometrie

Zusammenfassung Wir haben immer die „projectivischen“ Eigenschaften der räumlichen Figuren den „metrischen“ gegenüber gestellt, und unsere Aufmerksamkeit vorwiegend den ersteren zugewandt, demgemäss uns auch meistens der homogenen Coordinaten bedient (vgl. p. 96). Gleichwohl beruhte sowohl die Definition dieser homogenen. Coordinaten als die Definition des für jene projectivischen (durch Collineationen nicht zerstörbaren) Eigenschaften fundamentalen Doppelverhältnisses wesentlich auf metrischen Begriffen. Es drängt sich daher die Frage auf, ob nicht die sogenannte projectivische Geometrie in der Weise begründet werden könne, dass von den metrischen Begriffen der Entfernung und des Winkels und von den mit ihnen zusammenhängenden Sätzen der Elementargeometrie über Congruenz, Aehnlichkeit etc. beim Aufbaue des geometrischen Lehrgebäudes kein Gebrauch gemacht wird. Ein solcher Aufbau erweist sich in der That als ausführbar; und diese Thatsache ist um so wichtiger, als sie zeigt, dass die projectivische Geometrie ihrem Inhalte nach unabhängig davon besteht, ob man das sogenannte Parallelenaxiom Euclid’s annimmt oder nicht, während alle metrischen Sätze dieses oder eines äquivalenten Axioms nicht entbehren können, wie wir weiterhin noch sehen werden. Die ganze Geometrie zerfällt hiernach in zwei Theile: der eine (einfachere) ist unabhängig vom Parallelenaxiome und umfasst die sogenannte projectivische Geometrie; der andere stützt sich auf das Parallelenaxiom, nimmt also etwas Neues hinzu, ist demgemäss als der complicirtere zu bezeichnen, wenn derselbe auch in Folge des in der Geometrie üblichen Lehrganges, der mit Recht an die naheliegenden Begriffe von Entfernung und Winkel vorläufig anknüpft, zunächst als der einfachere erscheint.