Gewundene Curven und Regelflächen

Zusammenfassung Die Tangente einer beliebigen Curve des dreidimensionalen Raumes in einem gegebenen Punkte M lässt sich ebenso wie bei den ebenen Curven (vgl. § 1) definieren. Die Normalen in M sind die unendlich vielen Senkrechten, die sich in M auf der Tangente errichten lassen. Sie liegen in einer Ebene, die man die Normalebene nennt. Wenn sich beim Hinrücken von M′ nach M die gemeinsame Gerade der Normalebenen in M und M′ einer Grenzlage nähert, so erhält sie in dieser den Namen Polaraxe. Eine der unendlich vielen Normalen ist der Polaraxe parallel, eine andere ist zu ihr senkrecht: die erste heisst die Binormale, die andere die Hauptnormale. Eine der Ebenen, die durch die Tangente hindurchgehen, enthält auch die Binormale, eine andere enthält die Hauptnormale: die erste heisst die rectificierende Ebene, die andere die osculierende Ebene. In jedem Punkte einer Curve haben wir also ein rechtwinkliges Trieder, dessen Kanten die Tangente, die Binormale und die Hauptnormale und dessen Flächen die Normalebene, die osculierende Ebene und die rectificierende Ebene sind. Da man die Polaraxe als den Schnitt von zwei unendlich benachbarten Normalebenen betrachten kann, so kann man auch sagen, dass die Binormale senkrecht zu zwei unendlich benachbarten Tangenten ist. Hiermit soll nur kurz ausgedrückt werden, dass die Binormale in M die Grenzlage der gemeinsamen Senkrechten zu den Tangenten in M und M′ ist, wenn man unter Festhaltung von M den Punkt M′ nach M hinrücken lässt.