Allgemeine Theorie der Flächen

Zusammenfassung Die Eigenschaften einer Fläche in der Umgebung jedes Punktes M stehen in genauer Beziehung zu denen der Curven, welche durch M hindurchgehen. Im folgenden (§ 219) werden wir sehen, dass die Tangenten aller dieser Curven in einer Ebene liegen, welche man die Tangentialebene der Fläche im Punkte M nennt. Die Normale der Fläche, d. h. die auf der Tangentialebene in M errichtete Senkrechte, ist Normale aller durch M hindurchgehenden Curven und kann für gewisse die Binormale, für andere die Hauptnormale sein. Die Curven, bei welchen in jedem Punkte die Binormale mit der Normale der Fläche zusammenfällt, heissen Asymptotenlinien; diejenigen, welche diese Normale als Hauptnormale zulassen (vgl. § 126), nennt man geodätische Linien. Mit andern Worten: Wenn man die einer Fläche längs einer gegebenen Curve umbeschriebene Developpable betrachtet, d. h. die Enveloppe der Ebenen, welche die Fläche in den Punkten der Curve berühren, so kann man sagen, dass die längs einer Asymptotenlinie umbeschriebene Developpable diese Curve als Rückkehrkante zulässt, während die längs einer geodätischen Linie umbeschriebene Developpable die rectificierende einer solchen Curve ist. Um sich volle Rechenschaft von dem wesentlichen Unterschied zwischen den beiden Arten von Curven zu geben, ist es nützlich, die Fläche als materiell anzunehmen, indem man ihr eine gewisse Dicke zuschreibt, und sich andererseits die Curve als einen Streifen auf der Developpablen der Tangenten zu denken, d. h. auf der Reihe derjenigen Ebenen, von denen man sagen kann, dass ihnen die successiven Elemente der Curve am genausten angehören (§ 120).