Symmetrien und Permutationsgruppen

Zusammenfassung Im Kapitel über Konfigurationen spielte die Symmetrie einer Gruppe der Ordnung 51.840 eine Rolle, und im Kapitel über reguläre Karten treffen wir auf eine Gruppe der Ordnung 1.008. Symmetrien erleben wir in vielen Lebensbereichen, und die Mathematik liefert dafür präzise Begriffsbildungen. Wir erklären in diesem Kapitel den Gruppenbegriff und beschreiben Symmetrien durch Permutationsgruppen. Offene oder jüngst gelöste Probleme in der Geometrie sprechen wir in diesem Kapitel nicht an, aber Problemstellungen aus der Geometrie sind durch ein Verständnis des Gruppenbegriffs besser zu würdigen.Wir beginnen mit einem regulären 5-Eck und erklären daran zunächst den Begriff einer zyklischen Gruppe und den Begriff einer Dieder-Gruppe. Die eigentlichen und uneigentlichen Bewegungen, die einen platonischen Körper in sich überführen, bilden ebenfalls eine Gruppe. Wir geben Permutationsgruppen an, die diese Symmetrien platonischer Korper beschreiben, und definieren Begriffe wie Spurdreieck, Fahne, Petrie-Polygon und Schläfli-Symbol.