Zellzerlegte geschlossene Flächen

Zusammenfassung In diesem Kapitel behandeln wir die einfache Frage: Gibt es außer dem Tetraeder weitere dreidimensionale Polyeder, die keine Diagonale besitzen? Dazu müssen wir erklären, was wir unter einem dreidimensionalen Polyeder verstehen wollen. Wir beschreiben dazu zunächst abstrakt, welche Randfläche ein solches Polyeder haben soll. Der Rand soll von einer endlichen Anzahl (zunächst abstrakter) n-Ecke, n ≥ 3, gebildet werden. Jede (zunächst abstrakte) Kante soll Kante von genau zwei dieser n-Ecke sein. Damit kann man als zweidimensionales Wesen auf der Fläche nie zu einem Rand der Fläche gelangen. Wir sprechen von einer geschlossenen Fläche. An jeder Ecke sollen mindestens drei dieser n-Ecke angrenzen, sie sollen dort eine zyklische Reihenfolge um diese Ecke bilden, und wir betrachten nur zusammenhängende Flächen. Welche Flächen dabei entstehen können, sagt uns die Topologie, eine mathematische Teildisziplin, deren Denkweise wir dazu vorstellen. Schon Möbius hatte eine abstrakte Fläche angegeben, die aus 14 Dreiecken bestand. Wenn man diese 14 Dreiecke als ebene Dreiecke herstellen könnte, ohne dass sie sich durchdringen, dann hätte dieses Polyeder ein Loch und keine Diagonale.