Die Grenzen der Mathematik

Zusammenfassung Bevor wir die Bühne zum großen Finale des Gödel’schen Beweises freigeben, wollen wir die bisher erarbeiteten Ergebnisse kurz rekapitulieren: In Kapitel 4 haben wir das System P kennen gelernt und gezeigt, wie sich Formeln und Beweise arithmetisieren lassen. Indem wir jeder Formel und jeder Formelreihe eine Gödelnummer zugeordnet haben, konnten wir die Manipulation von Zeichenketten, und damit auch das Führen eines Beweises, arithmetisch deuten. In Kapitel 5 haben wir den Begriff der primitiv-rekursiven Funktion eingeführt und anschließend auf Relationen ausgeweitet. Danach haben wir in akribischer Fleißarbeit 45 primitiv-rekursive Funktionen und Relationen erarbeitet. Am Ende stand die Erkenntnis, dass sich wichtige metamathematische Begriffe über formale Systeme primitiv-rekursiv formulieren lassen. Am Ende von Kapitel 5 haben wir mit Gödels Satz V ein Bindeglied zwischen Formeln und primitiv-rekursiven Relationen geschaffen. Inhaltlich besagt dieser wichtige Satz, dass wir jede primitiv-rekursive Relation innerhalb von P syntaktisch repräsentieren können; d. h., wir können das Bestehen einer primitiv-rekursiven Relation für jede konkret vorgelegte Wertekombination innerhalb von P beweisen oder widerlegen.