Verallgemeinerte arithmetische Funktionen

Zusammenfassung Viele der Eigenschaften arithmetischer Funktionen, insbesondere die Inversion sowie arithmetische Identitäten, gelten auch in einem allgemeineren Kontext. In diesem Kapitel soll dieser allgemeinere Ansatz eingeführt, verschiedene Beispiele betrachtet sowie allgemeine Ergebnisse erzielt werden, die der Leser in den Übungen anwenden kann. Sei $$\mathcal{P}$$ eine halbgeordnete Menge, das bedeutet, dass $$\mathcal{P}$$ aus einer nichtleeren Menge, die ebenfalls mit $$\mathcal{P}$$ bezeichnet wird, besteht und eine Relation „≤“ auf $$\mathcal{P}$$ definiert ist, die transitiv, reflexiv und antisymmetrisch ist. Für alle $$a,b,c\in\mathcal{P}$$ gilt also (i) Reflexivität: a ≤ a (ii) Antisymmetrie: Aus a ≤ b und b ≤ a folgt a = b. (iii) Transitivität: Aus a ≤ b und b ≤ c folgt a ≤ c. Eine Relation auf einer Menge $$\mathcal{P}$$ , die diese drei Eigenschaften besitzt, nennt man Halbordnung auf $$\mathcal{P}$$ . Man schreibt x