Dirichlet-Reihen und erzeugende Funktionen

Zusammenfassung Eine unendliche Reihe der Art 5.1 $$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{f(n)}{n^{s}}}$$ mit einer arithmetischen Funktion f und einer reellen oder komplexen Variablen s nennt man Dirichlet-Reihe zu f. Im Folgenden wird nur der Fall mit reellem Argument s weiter verfolgt. Es existieren Dirichlet-Reihen, die nicht für alle Werte von s absolut konvergieren, siehe Übung 5.6. Konvergiert die Dirichlet-Reihe jedoch für einen Wert absolut, dann bestimmt sie für diese Werte eine Funktion, die als erzeugende Funktion für f fungiert. Nimmt man an, die allgemeine Dirichlet-Reihe aus Gleichung (5.1) konvergiere absolut für einen Wert $$s_{0}\in\mathbb{R}$$ , dann gilt für $$s> s_{0}$$ und alle $$n\in\mathbb{N}$$ : $$\displaystyle\left|\frac{f(n)}{n^{s}}\right|=\frac{\left|f(n)\right|}{n^{s}}\leq\frac{\left|f(n)\right|}{n^{s_{0}}}=\left|\frac{f(n)}{n^{s_{0}}}\right|$$ Nach dem Vergleichskriterium für unendliche Reihen konvergiert damit die Reihe auch absolut für $$s> s_{0}$$ . Es bezeichne $$\begin{aligned}\displaystyle s_{a}:=\inf\{s_{0}\in\mathbb{R}:{}&\displaystyle\text{die Dirichlet-Reihe aus Gleichung\leavevmode\nobreak\ (5.1)}\\ \displaystyle&\displaystyle\text{konvergiert absolut f{\"u}r }s=s_{0}\}\end{aligned}$$ die Abszisse der absoluten Konvergenz der Dirichlet-Reihe. Es kann $$s_{a}=\infty$$ oder auch $$s_{a}=-\infty$$ vorkommen, siehe Übung 5.6. Ist $$-\infty\leq s_{a} s_{a}$$ . Insbesondere ist eine Veränderung der Summationsreihenfolge erlaubt und die Reihe konvergiert zum selben Wert wie zuvor.