Verallgemeinerungen der Dirichlet-Faltung

Zusammenfassung Sei K eine komplexwertige Funktion, die auf der Menge der geordneten Paare $$(n,d)$$ natürlicher Zahlen mit $$d\mid n$$ definiert ist. Sind f und g arithmetische Funktionen, dann wird deren K -Faltung, symbolisch $$f\ast_{K}g$$ , durch $$\displaystyle(f\ast_{K}g)(n):=\sum\limits_{d\mid n}{K(n,d)\,f(d)\,g\left(\frac{n}{d}\right)}$$ erklärt. Beispielsweise ergibt sich mit $$K(n,d):=1$$ für jedes n, die Dirichlet-Faltung $$f\ast g$$ . Zu Beginn dieses Kapitels soll die binäre Verknüpfung $$\ast_{K}$$ auf der Menge der arithmetischen Funktionen untersucht und die Frage beantwortet werden, unter welchen Voraussetzungen die Menge der arithmetischen Funktionen mit der Addition und K-Faltung einen kommutativen Ring mit Einselement δ bildet. Man beachte, dass für jede arithmetische Funktion f nachstehende Gleichungen gelten: $$\displaystyle(f\ast_{K}\delta)(n)=K(n,n)\,f(n)$$ und $$\displaystyle(\delta\ast_{K}f)(n)=K(n,1)\,f(n)$$ Wenn nun $$f:=1\hskip-4.5pt\mathrm{l}$$ gewählt wird, dann ist damit $$1\hskip-4.5pt\mathrm{l}\ast_{K}\delta=1\hskip-4.5pt\mathrm{l}$$ und $$\delta\ast_{K}1\hskip-4.5pt\mathrm{l}=1\hskip-4.5pt\mathrm{l}$$ , was 4.1 $$\displaystyle K(n,n)=K(n,1)=1$$ zur Folge hat. Gilt andererseits diese Gleichung (4.1), dann ist $$f\ast_{K}\delta=f$$ und $$\delta\ast_{K}f=f$$ für jede arithmetische Funktion f.