Die Unentbehrlichkeit des Zirkels bei elementargeometrischen Konstruktionen

Zusammenfassung Die Konstruktionen der elementaren Geometrie, wie sie uns schon bei Euklid entgegentritt, werden mit dem Lineal und dem Zirkel ausgeführt; man pflegt die Abgrenzung der elementaren Geometrie innerhalb der gesamten Geometrie geradezu nach der Möglichkeit der Konstruktion der geometrischen Gebilde mit Zirkel und Lineal vorzunehmen. Diese beiden Instrumente spielen nun aber ihrerseits keine völlig festgelegte Rolle: man kann nach Belieben viele Aufgaben dem einen oder anderen Instrument zuweisen. Nach den Untersuchungen von Mascheroni und nach den erst neuerdings wieder aufgefundenen viel älteren des dänischen Mathematikers Mohr kann man sogar das Lineal ganz entbehren und alle Konstruktionen, die sich mit Zirkel und Lineal zusammen ausführen lassen, völlig allein mit dem Zirkel ausführen1. In der umgekehrten Richtung ist Jacob Steiner am weitesten gegangen, indem er gezeigt hat, daß sich sämtliche elementargeometrischen Konstruktionen mit dem Lineal allein ausführen lassen, wenn nur ein fester Kreis samt seinem Mittelpunkt gezeichnet vorliegt. Daß man diesen festen Kreis nicht auch noch entbehren kann, läßt sich leicht einsehen und wird im folgenden mitbewiesen werden. Wir wollen nämlich zeigen, daß ein fester Kreis, dessen Mittelpunkt unbekannt ist, nicht genügt, um alle weiteren Konstruktionen mit dem Lineal allein ausführbar zu machen. Ja, sogar zwei sich nicht schneidende Kreise mit unbekannten Mittelpunkten genügen auch noch nicht. Dagegen ist bekannt, daß zwei sich schneidende Kreise ohne Mittelpunkt statt des Steinerschen Kreises mit Mittelpunkt dienen können (s. S. 173); gleichfalls drei sich nicht schneidende Kreise ohne Mittelpunkt.