Lineare Gleichungen

Zusammenfassung Lineare Gleichungssysteme spielen in den Anwendungen und insbesondere auch in technischen Anwendungen eine hervorragende Rolle. Sie treten auf in der Statik bei der Behandlung statisch unbestimmter Systeme, in der Elektrotechnik bei der Berechnung von Netzen, in der Ausgleichsrechnung zum systematischen Ausgleich von Meßfehlern, in der Schwingungstechnik zur Berechnung von Eigenfrequenzen und Schwingungsformen. Sie treten weiterhin auf im Zusammenhang mit zahlreichen modernen Näherungsverfahren zur numerischen Behandlung von Rand- und Eigenwertaufgaben bei Schwingungsaufgaben, Stabilitätsproblemen und auf ungezählten anderen Gebieten von Physik und Technik. Sowohl ihre numerische Behandlung als auch ihre Theorie sind daher von gleich großer Bedeutung. Theorie und Praxis der linearen Gleichungssysteme sind auch grundlegend für den weiteren Aufbau der Matrizentheorie, welche ihrerseits die numerischen Methoden zur Behandlung umfangreicher Gleichungssysteme wesentlich beeinflußt und gefördert hat. Wir beginnen die folgende Darstellung mit dem einfachsten Fall nichtsingulärer Koeffizientenmatrix, um in den folgenden Abschnitten auch auf allgemeinere Systeme ausführlich einzugehen. Wesentliches Hilfsmittel aller Betrachtungen wird dabei das nach Gauss benannte Eliminationsverfahren, der Gausssche Algorithmus sein, dem wir uns zunächst zuwenden.