Producte und Quotienten von Moduln. Ordungen (§ 170.)

Zusammenfassung Während die eben betrachteten Modulbildungen auf dem Begriffe der Theilbarkeit beruhten, gehen wir jetzt zu der hiervon durchaus unabhängigen Multiplication der Moduln über. Sind $$\mathfrak {a}$$ , $$\mathfrak {b}$$ zwei beliebige Moduln, und bedeutet $$\alpha $$ jede Zahl in $$\mathfrak {a}$$ , ebenso $$\beta $$ jede Zahl in $$\mathfrak {b}$$ , so verstehen wir unter dem Producte $$\mathfrak {ab}$$ der Factoren $$\mathfrak {a}$$ , $$\mathfrak {b}$$ den Inbegriff aller Zahlen $$\mu $$ , welche als ein Product $$\alpha \beta $$ oder als Summe von mehreren solchen Producten $$\alpha \beta $$ darstellbar sind. Da auch jede Zahl $$-\alpha $$ in $$\mathfrak {a}$$ enthalten ist, so leuchtet ein, dass jede Differenz von zwei Zahlen $$\mu $$ ebenfalls eine solche Zahl $$\mu $$ , dass also das Product $$\mathfrak {ab}$$ wieder ein Modul ist; aber man darf, wie kaum bemerkt zu werden braucht, das Product $$\mathfrak {ab}$$ nicht mit einem Vielfachen von $$\mathfrak {a}$$ , $$\mathfrak {b}$$ verwechseln.