Gauß: Alle Gleichungen haben eine Lösung (1799)

Zusammenfassung Das Kapitel dreht sich um ein erstaunliches Resultat, das die Bedeutung der von Bombelli entdeckten komplexen Zahlen unterstreicht: Man kann nicht nur Quadratwurzeln negativer Zahlen ziehen, also die Gleichung x2 = −1 lösen, sondern überhaupt jede Gleichung, die Potenzen der gesuchten Unbekannten enthält. Bis zu dieser Erkenntnis war es ein weiter Weg. Zunächst konnte man in den komplexen Zahlen nicht einmal Wurzeln ziehen, d.h. die Gleichung xn = a lösen. Dazu musste erst die bei wirtschaftsmathematischen Ü berlegungen (Zinseszins) gefundene und von Leonhard Euler untersuchte Exponentialfunktion, deren Eigenschaften auf Pascals binomischer Formel beruhte, auf komplexe Zahlen erweitert werden. Danach konnte man andere Gleichungen vom Grad n als Variationen der Gleichung xn = a auffassen, daher sollten auch sie eine Lösung besitzen. Der junge Carl Friedrich Gauß setzte sich in seiner Doktorarbeit (1799) mit den lückenhaften Versuchen seiner Vorgänger auseinander, dies wirklich zu beweisen, und legte seine eigene Version vor, die darauf beruhte, dass gewisse Linien in der komplexen Ebene aus kombinatorischen Gründen einen Schnitt haben müssen.