Riemann: Die Geometrie des Raumes (10.6.1854)

Zusammenfassung Bernhard Riemann hat in seinem Habilitationsvortrag vom 10.6.1854 die Geometrie neu begründet. Bis dahin waren geometrische Begriffe, z.B. Entfernungen, mit dem Raum fest verbunden. Riemann entwarf eine neue Geometrie, die die Wirklichkeit besser abbildet: Entfernungen werden durch vielfaches Aneinanderlegen von Maßstäben gemessen, die an jeder Stelle vorhanden sein müssen. Wird die Länge der Maßstäbe irgendwo verändert, bekommt die Entfernung einen anderen Wert. Riemann lässt beliebige Maßstäbe zu unter der Bedingung, dass im Kleinen annähernd der Lehrsatz des Pythagoras gilt, also die euklidische Geometrie. Die so definierte ”Riemannsche“ Geometrie verhält sich zur euklidischen wie die Geometrie einer krummen Fläche zu der der Ebene: Lokal nähert sie sich der euklidischen an, aber im Großen kann sie unzählige verschiedene Möglichkeiten realisieren. Wie bei Flächen unterscheiden sich euklidische und Riemannsche Geometrie lokal durch die ”Krümmung“; dieser von Riemann definierte Begriff stimmt für Flächen mit der anschaulichen Krümmung überein.