Invariante positiv definite Klassenfunktionen und ergodische Maße

Zusammenfassung Es sei G eine abzählbare Gruppe. In [6] haben wir gezeigt, daß jede positiv definite Klassenfunktion α über G sich auf genau eine Weise als Integral $$ \alpha (x) = \int\limits_{F(G)} {\beta (x)d\mu (\beta )} $$ mit μ(F(G) − E(G)) = 0 über der abgeschlossenen Hülle F(G) der Menge E(G) der unzerlegbaren positiv definiten Klassenfunktionen schreiben läßt. Ist x eine Untergruppe der Automorphismengruppe von G, so können wir die Menge L + (G, x) der x-invarianten positiv definiten Klassenfunktionen betrachten, d. h. der positiv definiten Klassenfunktionen α mit α(x) = α(τ − 1(x)) für alle x ∈ G und τ ∈ x. In [6] haben wir gezeigt, daß wir auch für die α ∈ L + (G, x) eine eindeutige Zerlegung in der Form $$ \alpha (x) = \int\limits_{F(G,N)} {\gamma (x)d\mu (\gamma )} $$ mit μ(F(G, x) − E(G, x)) = 0 haben. Dabei ist F(G, x) die abgeschlossene Hülle der Menge der unzerlegbaren x-invarianten Klassenfunktionen E(G, x) (zur genauen Formulierung vergleiche Beginn von Abschnitt I). Die Gruppe x erzeugt in natürlicher Weise eine Gruppe ȉ von Homöomorphismen von F(G). Ein α ∈ L + (G, x) können wir dann auf zwei Arten zerlegen, nämlich über F(G, x) und über F(G). Bei der Zerlegung über F(G) muß das zugehörige Maß μ ȉ-invariant sein und α gehört genau dann zu E(G, x), wenn das ȉ-invariante Maß μ auch ȉ-ergodisch ist. Das ist Satz 1 in Abschnitt I. Wir erhalten also einen Zusammenhang zwischen ȉ-ergodischen Maßen von F(G) mit μ(F(G) − E(G)) = 0 und den Elementen von E(G, x).