Von Klassen konvexer Körper erzeugte Hilberträume

Zusammenfassung In der Theorie der konvexen Körper nimmt die Minkowskische Addition eine zentrale methodische Stellung ein (lineare, konkave und konvexe Scharen; Satz von Brunn-Minkowski usw., vgl. etwa [1], § 5ff.). Man bemüht sich daher um eine Einsicht in die Struktur dieser Addition. Bekannt ist (vgl. [2]), daß die Gesamtheit K n aller konvexen Körper des ℝ n , d. h. aller abgeschlossenen, beschränkten, konvexen Mengen des ℝ n (wir verlangen nicht die Volldimensionalität) eine topologische Halbgruppe mit Kürzungsregel bildet. Die Topologie wird dabei von der Hausdorff-Metrik induziert. In [2] haben wir stetige Homomorphismen von K n auf dichte Unterräume von Banachräumen angegeben. Dies geschah durch Betrachtung gewisser „Parallelklassen“ bzw. „Asymmetrieklassen“ konvexer Körper. In der vorliegenden Arbeit zeigen wir, daß K n auf einen dichten Unterraum des auf der Einheits-sphäre S n definierten Hilbertraumes aller antisymmetrischen, reellwertigen, quadratisch integrierbaren Funktionen homomorph und stetig abgebildet werden kann. Dies gelingt mit Hilfe der schönen Tatsache, daß sich die Stützfunktionen konvexer Körper bei Minkowskischer Addition der Körper ebenfalls addieren.