Über das Wachstum der Potenzreihen in ihrem Konvergenzkreise. I

Zusammenfassung Das Problem der Wachstumsordnung einer ganzen transzendenten Funktion ist seit langem erledigt. Ist 1 $${c_0} + {c_1}z + {c_2}{z^2} + \ldots $$ eine beständig konvergente Potenzreihe, und ist M(r) das Maximum des Betrages der von (1) dargestellten Funktion f(z) auf dem Kreise | z |=r, so weiß man seit den Arbeiten von Poincaré und Hadamard das Wachstum der monotonen Funktion M(r) aus dem der Beträge der Koeffizienten c n sehr wohl zu charakterisieren. Anders liegt es, wenn (1) keine beständig konvergente Potenzreihe vorstellt, sondern etwa den Einheitskreis zum Konvergenzkreis hat. Anknüpfend an das berühmte „Mémoire sur l’approximation des fonctions de très-grands nombres“ 1) von Darboux, hat ebenfalls bereits Hadamard im dritten Hauptteil seiner bekannten thèse2) eine umfassende Theorie aufgestellt, deren Ziel in dieser Richtung lag.