Zur Stieltjesschen Kettenbruchtheorie

Zusammenfassung Die folgenden Entwicklungen wollen zeigen, einer wie weitgehenden Anwendung Begriffsbildungen und Methoden der Lehre von den Gleichung-systemen mit unendlichvielen Unbekannten innerhalb der Stieltjesschen Kettenbruchtheorie fähig sind; sie beziehen sich stets auf den Kettenbruch 1 $$\left| {\frac{1}{{{a_1} - \lambda }}} \right| - \left| {\frac{{b_1^2}}{{{a_2} - \lambda }}} \right| - \left| {\frac{{b_2^2}}{{{a_3} - \lambda }}} \right| - \ldots $$ mit beliebig gegebenen reellen a1, a2, …, reellen nichtverschwindenden bl, b2,… und komplexem λ, dessen Beziehungen zu dem von Stieltjes in erster Linie behandelten Kettenbruch $$\left| {\frac{1}{{{k_1}\lambda }}} \right| + \left| {\frac{1}{{{k_3}}}} \right| + \left| {\frac{1}{{{k_3}\lambda }}} \right| + \left| {\frac{1}{{{k_4}}}} \right| + \ldots $$ bekannt sind. Die klassischen Untersuchungen von T. J. Stieltjesl) umfassen solche Bedingungen für die a p , b p (bzw. die k p ), daß das „Spektrum“ des Kettenbruches höchstens die eine reelle λ-Halbachse bedeckt, d. h. daß eine über diese Halbachse erstreckte Integraldarstellung der bekannten Form $$\int\limits_0^\infty {\frac{{d\sigma (\mu )}}{{\lambda - \mu }}} $$ möglich ist. In einer gemeinsamen Arbeit von O. Toeplitz und mir2) wurde durch Anwendung der Theorie der beschränkten quadratischen Formen unendlichvieler Veränderlicher der mit jenen Bedingungen sich nicht deckende, aber etwa gleiche Allgemeinheit besitzende Fall beschränkter a p , b p behandelt, in dem das Spektrum in einem endlichen Stück der reellen λ-Achse enthalten ist. Im allgemeinen Falle wird das Spektrum die ganze reelle Achse bedecken; soweit reichende Ergebnisse hat zuerst für einige Fälle J. Grommer3) entwickelt.