Zahlengeometrische Untersuchung über die extremen Formen für die indefiniten quadratischen Formen

Zusammenfassung Die Theorie der extremen Formen für die positiven quadratischen Formen wurde zuerst von Korkine und Zolotareff 1) untersucht und dann von Minkowski 2) zum Abschluß gebracht, während diejenige der indefiniten quadratischen Formen bloß in dem Falle der binären und ternären Formen von Markoff 3) behandelt wurde. Der Minkowskische Standpunkt ist zahlen-geometrisch; er hat gezeigt, daß das Problem der extremen Formen für die positiven quadratischen Formen mit demjenigen der dichtesten gitterförmigen Lagerung von Kreisen und Kugeln äquivalent ist. Dies ist eines der schönsten Kapitel in der von ihm geschaffenen Geometrie der Zahlen. Ich möchte hier darauf aufmerksam machen, daß der Minkowskische Gedankengang viel weitergehend, nämlich auch auf indefinite quadratische Formen mit Erfolg anwendbar ist, wenn auch er selbst nicht darauf eingegangen ist. Hier treten Hyperbel und Hyperboloid an die Stelle von Kreis und Kugel, und verliert dabei natürlich das Wort „dichteste gitterförmige Lagerung“ seinen Sinn. Von diesem Standpunkt kann man fast alle Resultate von Markoff sehr anschaulich ableiten. Ich möchte in den folgenden Zeilen nur den Fall der binären Formen kurz behandeln, und den Fall der ternären Formen für eine spätere Arbeit vorbehalten.