Über die Grundlagen der projektiven Geometrie und allgemeine Zahlsysteme

Zusammenfassung Eine Frage aus den Grundlagen der Geometrie ist der Ausgangspunkt: Über die Begründung des Dualitäts-Prinzips ist zwischen Poncelet und Gergonne gestritten worden1). Poncelet konstruiert durch ein Polarsystem (etwa am Kreis) zu jeder Figur eine duale, Gergonne leitet das Prinzip aus dem dualen Charakter der projektiven Axiome unmittelbar ab. Der Streit ist nicht leicht zu entscheiden: Zunächst muß man zu den sogenannten projektiven Axiomen (der Verknüpfung und Anordnung) zur Begründung der projektiven Geometrie noch das Archimedische Postulat hinzufügen,. das aber in geeigneter Formulìerung, ebenfalls dualen Charakter hat. Der entscheidende Einwand gegen die Gergonnesche Auffassung ist der folgende: Poncelet zeigt direkt durch das Polarsystem, daß zu jeder Figur eine duale existiert; Gergonne dagegen kann nur nachweisen, daß jede auf Grund seiner Axiome als existierend nachgewiesene Figur dualisierbar ist. Nun kann es aber in einer Archimedischen Geometrie Figuren geben, die in einer anderen nicht existieren: z. B. in der allgemeinsten Archimedischen Geometrie gibt es hyperbolische Involutionen ohne Doppel­punkte, in der gewöhnlichen Geometrie nicht. Um mit der Gergonneschen Schlußweise das Ponceletsche Ziel zu erreichen, müßte man demnach statt des Archimedischen sogar ein die „Vollständigkeit“ involvierendes, etwa. das Dedekindache Postulat zu den projektiven Axiomen hinzufügen.