Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen

Zusammenfassung Im folgenden soll an den beiden Beispielen 1 $$f\left( {x + 1} \right) + f\left( x \right) = g\left( x \right)$$ 2 $$f\left( {x + 1} \right) - xf\left( x \right) = g\left( x \right)$$ eine Theorie der linearen Differenzengleichungen mit Methoden entwickelt werden, die sich auf Differenzengleichungen endlicher oder unendlicher Ordnung mit ganzen rationalen Koeffizienten übertragen lassen, was ich aber wegen der Beschränkung in Raum und Zeit auf später verschieben muß. In gewisser Hinsicht stehen die folgenden Untersuchungen in Zusammenhang mit den schönen Ausführungen Nörlunds1), der formal eine Hauptlösung der Differenzengleichung durch eine unendliche Reihe (vgl. den Schluß von § 1) definiert und diese im Falle ihrer Divergenz summiert. Wir wollen dagegen im folgenden die Lösungen durch verschiedene Grenzbedingungen fixieren, wenn g (x) entsprechende Bedingungen erfüllt. Verliert g (x) aber diese Eigenschaft, so wird dieses auch im allgemeinen f(x) tun, und die f (x) definierende Reihe kann divergieren, so daß man sie summieren muß.